Неустойчивость солитонов и коллапс звуковых волн в средах с положительной дисперсией
Кузнецов Е.А.

Поступила в редакцию: 28 Февраля 2022

DOI: 10.31857/S0044451022060000

PDF (475.9K)

Представлен краткий обзор результатов исследования коллапса звуковых волн в средах с положительной дисперсией, который описывается в рамках трехмерного уравнения Кадомцева-Петвиашвили (КП) [kadomtsev1970stability]. Рассмотрена неустойчивость КП одномерных солитонов в длинноволновом пределе с помощью разложения для соответствующей спектральной задачи. Продемонстрировано, что неустойчивость КП имеет место также для двумерных солитонов в рамках трехмерного уравнения КП с положительной дисперсией. Согласно [kadomtsev1976collective] эта неустойчивость относится к самофокусировочному типу. Нелинейная стадия этой неустойчивости представляет собой коллапс. Одним из критериев коллапса является неограниченность гамильтониана снизу при фиксированной проекции импульса, совпадающей с L₂-нормой. Этот факт следует из масштабных преобразований, сохраняющих эту норму постоянной. Коллапс по этой причине можно представлять как процесс падения частицы в самосогласованном неограниченном потенциале. Показано, что излучение волн из области с отрицательным гамильтонианом, благодаря его неограниченности снизу, способствует коллапсу волн. Этот сценарий был подтвержден численными экспериментами [KuznetsovMusherShafarenko1983, KuznetsovMusher1986]. Представлены два аналитических подхода исследования коллапса: с помощью вариационного метода и квазиклассического приближения. В отличие от нелинейного уравнения Шредингера с фокусирующей нелинейностью особенность квазиклассического подхода для описания звукового коллапса состоит в том, что этот метод предложен для трехмерного уравнения КП как системы с гидродинамической нелинейностью. В рамках квазиклассического описания найдено семейство автомодельных коллапсов. Верхняя граница этого семейства соответствует сильному коллапсу, при котором энергия, захваченная в особенность, конечна. Существование такого режима подтверждается также с помощью вариационного подхода. Другая граница коллапсирующей иерархии совпадает с автомодельным решением трехмерного уравнения КП, описывающим наиболее быстрый слабый коллапс.